Немного высшей математики¶

Алгебраическая геометрия¶

Sage позволяет создавать любые алгебраические многообразия, но иногда функциональность ограничивается кольцами $\QQ$ или конечными полями. Например, найдем объединение двух плоских кривых, а затем вычленим кривые как несократимые составляющие объединения.

sage: x, y = AffineSpace(2, QQ, 'xy').gens()
sage: C2 = Curve(x^2 + y^2 - 1)
sage: C3 = Curve(x^3 + y^3 - 1)
sage: D = C2 + C3
sage: D
Affine Curve over Rational Field defined by
   x^5 + x^3*y^2 + x^2*y^3 + y^5 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 + 1
sage: D.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^2 + y^2 - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^3 + y^3 - 1
]

Также можно найти все точки пересечения двух кривых.

sage: V = C2.intersection(C3)
sage: V.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y - 1
  x,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y
  x - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x + y + 2
  2*y^2 + 4*y + 3
]

Таким образом точки $(1,0)$ и $(0,1)$ находятся на обеих кривых, а координаты по оси $y$ удовлетворяют функции $2y^2 + 4y + 3=0$ .

Sage может вычислить тороидальный идеал неплоской кривой третьего порядка:

sage: R.<a,b,c,d> = PolynomialRing(QQ, 4)
sage: I = ideal(b^2-a*c, c^2-b*d, a*d-b*c)
sage: F = I.groebner_fan(); F
Groebner fan of the ideal:
Ideal (b^2 - a*c, c^2 - b*d, -b*c + a*d) of Multivariate Polynomial Ring
in a, b, c, d over Rational Field
sage: F.reduced_groebner_bases ()
[[-c^2 + b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],
 [c^2 - b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, -b^2 + a*c, -b^3 + a^2*d],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, b^3 - a^2*d, -b^2 + a*c],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c],
 [-c^2 + b*d, b^2 - a*c, -b*c + a*d],
 [-c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c, -c^3 + a*d^2],
 [c^3 - a*d^2, -c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c]]
sage: F.polyhedralfan()
Polyhedral fan in 4 dimensions of dimension 4

Эллиптические кривые¶

Функциональность эллиптических кривых включает в себя большую часть функциональности PARI, доступ к информации в онлайн таблицах Cremona (что требует дополнительный пакет баз данных), функциональность mwrank, алгоритм SEA, вычисление всех изогений, много нового кода для $\QQ$ и некоторую функциональность программного обеспечения Denis Simon.

Команда EllipticCurve для создания эллиптических кривых имеет много форм:

EllipticCurve([ $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ ]): Возвратит эллиптическую кривую

$y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6.$
EllipticCurve([ $a_4$ , $a_6$ ]): То же, что и выше, но $a_1=a_2=a_3=0$ .
EllipticCurve(label): Вернет эллиптическую кривую из базы данных Cremona с заданным ярлыком Cremona. Ярлык - это строка, например, "11a" or "37b2".
EllipticCurve(j): Вернет эллиптическую кривую с инвариантой $j$ .
EllipticCurve(R, [ $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ ]): Создаст эллиптическую кривую из кольца $R$ с заданными $a_i$ ‘ми, как было указано выше.

Использование каждого конструктора:

sage: EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve([GF(5)(0),0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

sage: EllipticCurve([1,2])
Elliptic Curve defined by y^2  = x^3 + x + 2 over Rational Field

sage: EllipticCurve('37a')
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve_from_j(1)
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + 36*x + 3455 over Rational Field

sage: EllipticCurve(GF(5), [0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

Пара $(0,0)$ - это точка на эллиптической кривой $E$ , заданной функцией $y^2 + y = x^3 - x$ . Для создания этой точки в Sage напечатайте E([0,0]). Sage может добавить точки на такую эллиптическую кривую:

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
sage: P = E([0,0])
sage: P + P
(1 : 0 : 1)
sage: 10*P
(161/16 : -2065/64 : 1)
sage: 20*P
(683916417/264517696 : -18784454671297/4302115807744 : 1)
sage: E.conductor()
37

Эллиптические кривые для комплексных чисел задаются параметрами инварианты $j$ . Sage вычислит инварианту $j$ :

sage: E = EllipticCurve([0,0,0,-4,2]); E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: E.j_invariant()
110592/37

Если мы создадим кривую с той же инвариантой $j$ , как для $E$ , она не должна быть изоморфной $E$ . В следующем примере кривые не изоморфны, так как их conductor'ы различны.

sage: F = EllipticCurve_from_j(110592/37)
sage: F.conductor()
37

Однако кручение $F$ на 2 даст изоморфную кривую.

sage: G = F.quadratic_twist(2); G
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: G.conductor()
2368
sage: G.j_invariant()
110592/37

Можно посчитать коэффициенты $a_n$ ряда $L$ или модулярной формы $\sum_{n=0}^\infty a_nq^n$ , прикрепленной к эллиптической кривой. Данное вычисление использует библиотеку PARI:

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: print E.anlist(30)
[0, 1, -2, -3, 2, -2, 6, -1, 0, 6, 4, -5, -6, -2, 2, 6, -4, 0, -12, 0, -4,
 3, 10, 2, 0, -1, 4, -9, -2, 6, -12]
sage: v = E.anlist(10000)

Займет лишь секунду для подсчета всех $a_n$ для $n\leq 10^5$ :

sage: %time v = E.anlist(100000)
CPU times: user 0.98 s, sys: 0.06 s, total: 1.04 s
Wall time: 1.06

Эллиптические кривые могут быть построены с помощью их ярлыков Cremona.

sage: E = EllipticCurve("37b2")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 1873*x - 31833 over Rational
Field
sage: E = EllipticCurve("389a")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2*x  over Rational Field
sage: E.rank()
2
sage: E = EllipticCurve("5077a")
sage: E.rank()
3

Также есть доступ к базе данных Cremona.

sage: db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()
sage: db.curves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1], 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3]}
sage: db.allcurves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1],
 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3],
 'b2': [[0, 1, 1, -1873, -31833], 0, 1],
 'b3': [[0, 1, 1, -3, 1], 0, 3]}

Объекты, возвращенные из базы данных, не принадлежат типу EllipticCurve. Это элементы базы данных, имеющие пару полей. Существует малая версия базы данных Cremona, которая есть по умолчанию в Sage и содержит ограниченную информацию о эллиптических кривых с conductor'ом $\leq 10000$ . Также существует дополнительная большая версия, которая содержит исчерпывающую информацию о всех кривых с conductor'ом до $120000$ (Октябрь 2005). Еще один дополнительный пакет (2GB) для Sage содержит сотни миллионов эллиптических кривых в базе данных Stein-Watkins.

Символы Дирихле¶

Символ Дирихле - это расширение гомоморфизма $(\ZZ/N\ZZ)^* \to R^*$ для кольца $R$ к $\ZZ \to R$

sage: G = DirichletGroup(21)
sage: list(G)
[[1, 1], [-1, 1], [1, zeta6], [-1, zeta6], [1, zeta6 - 1], [-1, zeta6 - 1],
 [1, -1], [-1, -1], [1, -zeta6], [-1, -zeta6], [1, -zeta6 + 1],
 [-1, -zeta6 + 1]]
sage: G.gens()
([-1, 1], [1, zeta6])
sage: len(G)
12

Создав группу, нужно создать элемент и с его помощью посчитать.

sage: chi = G.1; chi
[1, zeta6]
sage: chi.values()
[0, 1, zeta6 - 1, 0, -zeta6, -zeta6 + 1, 0, 0, 1, 0, zeta6, -zeta6, 0, -1,
 0, 0, zeta6 - 1, zeta6, 0, -zeta6 + 1, -1]
sage: chi.conductor()
7
sage: chi.modulus()
21
sage: chi.order()
6
sage: chi(19)
-zeta6 + 1
sage: chi(40)
-zeta6 + 1

Также возможно посчитать действия группы Galois $\text{Gal}(\QQ(\zeta_N)/\QQ)$ для этих символов.

sage: G.galois_orbits()
[
[[1, 1]],
[[1, zeta6], [1, -zeta6 + 1]],
[[1, zeta6 - 1], [1, -zeta6]],
[[1, -1]],
[[-1, 1]],
[[-1, zeta6], [-1, -zeta6 + 1]],
[[-1, zeta6 - 1], [-1, -zeta6]],
[[-1, -1]]
]

sage: G.decomposition()
[
Group of Dirichlet characters of modulus 3 over Cyclotomic Field of order
6 and degree 2,
Group of Dirichlet characters of modulus 7 over Cyclotomic Field of order
6 and degree 2
]

Далее надо построить группу символов Дирихле по модулю 20, но со значениями с $\QQ(i)$ :

sage: G = DirichletGroup(20)
sage: G.list()
[[1, 1], [-1, 1], [1, zeta4], [-1, zeta4], [1, -1], [-1, -1], [1, -zeta4],
 [-1, -zeta4]]

Теперь посчитаем несколько инвариант G:

sage: G.gens()
([-1, 1], [1, zeta4])
sage: G.unit_gens()
[11, 17]
sage: G.zeta()
zeta4
sage: G.zeta_order()
4

В данном примере, символы Дирихле создаются со значениями в числовом поле, подробно задается выбор корня объединения третьим аргументом DirichletGroup.

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: K = NumberField(x^4 + 1, 'a'); a = K.0
sage: b = K.gen(); a == b
True
sage: K
Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: G = DirichletGroup(5, K, a); G
Group of Dirichlet characters of modulus 5 over Number Field in a with
defining polynomial x^4 + 1
sage: G.list()
[[1], [a^2], [-1], [-a^2]]

Здесь NumberField(x^4 + 1, 'a') говорит Sage использовать символ “a” для печати того, чем является K (числовое поле с определяющим полиномом $x^4 + 1$ ). Название “a” не объявлено на данный момент. Когда a = K.0 (эквивалентно a = K.gen()) будет оценено, символ “a” представляет корень полинома $x^4+1$ .

Модулярные формы¶

Sage может выполнять вычисления, связанные с модулярными формами, включая измерения, вычисление модулярных символов, операторов Hecke и разложения.

Существует несколько доступных функций для вычисления измерений пространств модулярных форм. Например,

sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
6112

Далее показаны вычисления операторов Hecke в пространстве модулярных символов уровня $1$ и веса $12$ .

sage: M = ModularSymbols(1,12)
sage: M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
sage: t2 = M.T(2)
sage: t2
Hecke operator T_2 on Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(1)
of weight 12 with sign 0 over Rational Field
sage: t2.matrix()
[ -24    0    0]
[   0  -24    0]
[4860    0 2049]
sage: f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
sage: factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
sage: M.T(11).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

Также можно создавать пространство для $\Gamma_0(N)$ и $\Gamma_1(N)$ .

sage: ModularSymbols(11,2)
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
 0 over Rational Field
sage: ModularSymbols(Gamma1(11),2)
Modular Symbols space of dimension 11 for Gamma_1(11) of weight 2 with
sign 0 and over Rational Field

Вычислим некоторые характеристические полиномы и $q$ -раскрытия.

sage: M = ModularSymbols(Gamma1(11),2)
sage: M.T(2).charpoly('x')
x^11 - 8*x^10 + 20*x^9 + 10*x^8 - 145*x^7 + 229*x^6 + 58*x^5 - 360*x^4
     + 70*x^3 - 515*x^2 + 1804*x - 1452
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - 3) * (x + 2)^2 * (x^4 - 7*x^3 + 19*x^2 - 23*x + 11)
        * (x^4 - 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 11)
sage: S = M.cuspidal_submodule()
sage: S.T(2).matrix()
[-2  0]
[ 0 -2]
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
    q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)
]

Также возможны вычисления пространств модулярных символов с буквами.

sage: G = DirichletGroup(13)
sage: e = G.0^2
sage: M = ModularSymbols(e,2); M
Modular Symbols space of dimension 4 and level 13, weight 2, character
[zeta6], sign 0, over Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - 2*zeta6 - 1) * (x - zeta6 - 2) * (x + zeta6 + 1)^2
sage: S = M.cuspidal_submodule(); S
Modular Symbols subspace of dimension 2 of Modular Symbols space of
dimension 4 and level 13, weight 2, character [zeta6], sign 0, over
Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: S.T(2).charpoly('x').factor()
(x + zeta6 + 1)^2
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
q + (-zeta6 - 1)*q^2 + (2*zeta6 - 2)*q^3 + zeta6*q^4 + (-2*zeta6 + 1)*q^5
  + (-2*zeta6 + 4)*q^6 + (2*zeta6 - 1)*q^8 - zeta6*q^9 + O(q^10)
]

Пример того, как Sage может вычислять действия операторов Hecke в пространстве модулярных форм.

sage: T = ModularForms(Gamma0(11),2)
sage: T
Modular Forms space of dimension 2 for Congruence Subgroup Gamma0(11) of
weight 2 over Rational Field
sage: T.degree()
2
sage: T.level()
11
sage: T.group()
Congruence Subgroup Gamma0(11)
sage: T.dimension()
2
sage: T.cuspidal_subspace()
Cuspidal subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2 for
Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: T.eisenstein_subspace()
Eisenstein subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2
for Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: M = ModularSymbols(11); M
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field
sage: M.weight()
2
sage: M.basis()
((1,0), (1,8), (1,9))
sage: M.sign()
0

Допустим, $T_p$ - это обычный оператор Hecke ( $p$ простое). Как операторы Hecke $T_2$ , $T_3$ , $T_5$ ведут себя в пространстве модулярных символов?

sage: M.T(2).matrix()
[ 3  0 -1]
[ 0 -2  0]
[ 0  0 -2]
sage: M.T(3).matrix()
[ 4  0 -1]
[ 0 -1  0]
[ 0  0 -1]
sage: M.T(5).matrix()
[ 6  0 -1]
[ 0  1  0]
[ 0  0  1]

Немного высшей математики¶

Алгебраическая геометрия¶

Эллиптические кривые¶

Символы Дирихле¶

Модулярные формы¶

Содержание

Предыдущая тема

Следующая тема

Эта страница

Навигация

Немного высшей математики¶

Алгебраическая геометрия¶

Эллиптические кривые¶

Символы Дирихле¶

Модулярные формы¶

Содержание

Предыдущая тема

Следующая тема

Эта страница

Быстрый поиск

Навигация